Question

已知向量

a

=(x2，x+1)，

b

=(1-x，t)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

（Ⅰ）若t=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的兩個極值點分別在區(qū)間（-1，1）和（1，+∞）上，求t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)在某點取得極值的條件,平面向量數(shù)量積的運算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）t=0時，f（x）=-x³+x²，得f′（x）=x（2-3x），從而f（x）在（-∞，0），（

2

3

，+∞）遞減，在（0，

2

3

）遞增；
（Ⅱ）由f（x）=-x³+x²+tx+t，得f′（x）=-3x²+2x+t，從而

f′(-1)＜0 f′(1)＞0

，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）t=0時，f（x）=-x³+x²，
∴f′（x）=x（2-3x），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜

2

3

，
令f′（x）＜0，解得：x＞

2

3

，x＜0，
∴f（x）在（-∞，0），（

2

3

，+∞）遞減，在（0，

2

3

）遞增；
（Ⅱ）∵f（x）=-x³+x²+tx+t，
∴f′（x）=-3x²+2x+t，
∴

f′(-1)＜0 f′(1)＞0

，即

-3-2+t＜0 -3+2+t＞0

，
解得：1＜t＜5，
∴t的范圍是：（1，5）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，是一道基礎(chǔ)題．