Question

已知函數(shù)f(x)=log2

x+2a+1

x-3a+1

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，試討論它的奇偶性和單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義即可得到不等式，解得即可．
（2）利用函數(shù)奇偶性判斷即可，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）

x+2a+1

x-3a+1

＞0，所以當(dāng)a＞0時(shí)，定義域?yàn)椋?∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，定義域?yàn)椋?∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）；
當(dāng)a=0時(shí)，定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（-1，+∞）
（2）函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)且僅當(dāng)-2a-1=-（3a-1）
解得a=2，
此時(shí)f(x)=log2

x+5

x-5

．
對(duì)于定義域D=（-∞，-5）∪（5，+∞）內(nèi)任意x，-x∈D，
f（-x）=log2

-x+5

-x-5

=log2

x-5

x+5

=-log2

x+5

x-5

=-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)x∈（5，+∞），f（x）在（5，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；
由于f（x）為奇函數(shù)，所以在（-∞，-5）內(nèi)單調(diào)遞減；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，以及復(fù)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．