Question

如圖所示，△ABC和△BCE是邊長為2的正三角形，且平面ABC⊥平面BCE，AD⊥平面ABC，AD=2

3

．
（1）證明：DE⊥BC；
（2）求三棱錐D-ABE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取BC的中點(diǎn)為F，連接AF，EF，BD．由于△BCE正三角形，可得EF⊥BC．又平面ABC⊥平面BCE，可得EF⊥平面ABC．又AD⊥平面ABC，可得AD∥EF，D，A，F(xiàn)，E共面．又易知在正三角形ABC中，AF⊥BC，可得BC⊥平面DAFE，可得DE⊥BC．
（2）由（1）知EF∥AD，利用V_D-ABE=V_E-DAB=V_F-DAB=V_D-ABF．S_△ABF=

1

2

BF•AF．即可得出．

解答： （1）證明：取BC的中點(diǎn)為F，連接AF，EF，BD
∵△BCE正三角形，∴EF⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCE，且交線為BC，
∴EF⊥平面ABC．
又AD⊥平面ABC∴AD∥EF，∴D，A，F(xiàn)，E共面，
又易知在正三角形ABC中，AF⊥BC，AF∩EF=F，
∴BC⊥平面DAFE，又DE?平面DAFE．
故DE⊥BC．
（2）由（1）知EF∥AD，
V_D-ABE=V_E-DAB=V_F-DAB=V_D-ABF．S_△ABF=

1

2

BF•AF=

3

2

．
∴VD-ABF=

1

3

S△ABF•AD=1．
即V_D-ABE．

點(diǎn)評：本題考查了正三角形的性質(zhì)、線面垂直面面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．