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【題目】設函數，函數．

（1）求函數的值域；

（2）若對于任意的，總存在，使得成立，求實數的取值范圍．

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：

（1）根據和三種情況分別求出的取值范圍，最后可得函數的值域為。（2）由（1）知，函數的值域。由函數上單調遞增，可得函數的值域，“對于任意的，總存在，使得成立”等價于，并由此得到，解得即為所求。

試題解析：

（1）①當時， ，則函數在（0,1）上單調遞增，在上單調遞減，所以。

②當時， ；

③當時， ，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以。

綜上可得。

所以函數的值域為。

（2）由（1）知，函數的值域

又函數上單調遞增，

∴，即，

∴函數的值域，

由題意得“對于任意的，總存在，使得成立”等價于，

∴，

解得．

∴實數的取值范圍為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： ， 分別是其左、右焦點，以線段為直徑的圓與橢圓有且僅有兩個交點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，點橫坐標的取值范圍是，求的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】4月23日是世界讀書日，惠州市某中學在此期間開展了一系列的讀書教育活動。為了解本校學生課外閱讀情況，學校隨機抽取了100名學生對其課外閱讀時間進行調查。下面是根據調查結果繪制的學生日均課外閱讀時間(單位：分鐘)的頻率分布直方圖，且將日均課外閱讀時間不低于60分鐘的學生稱為“讀書迷”，低于60分鐘的學生稱為“非讀書迷”．

（Ⅰ）根據已知條件完成下面2×2列聯表，并據此判斷是否有99%的把握認為“讀書迷”與性別有關？

（Ⅱ）將頻率視為概率，現在從該校大量學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“讀書迷”的人數為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列、數學期望和方差．

附：


0.100

0.050

0.025

0.010

0.001


2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】“累積凈化量”是空氣凈化器質量的一個重要衡量指標，它是指空氣凈化從開始使用到凈化效率為50%時對顆粒物的累積凈化量，以克表示，根據《空氣凈化器》國家標準，對空氣凈化器的累計凈化量有如下等級劃分：

累積凈化量（克）

12以上

等級

為了了解一批空氣凈化器（共5000臺）的質量，隨機抽取臺機器作為樣本進行估計，已知這臺機器的累積凈化量都分布在區(qū)間中，按照、、、、均勻分組，其中累積凈化量在的所有數據有：4.5,4.6,5.2,5.3,5.7和5.9，并繪制了頻率分布直方圖，如圖所示：

（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；

（2）以樣本估計總體，試估計這批空氣凈化器（共5000臺）中等級為的空氣凈化器有多少臺？

（3）從累積凈化量在的樣本中隨機抽取2臺，求恰好有1臺等級為的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某品牌汽車的店，對最近100份分期付款購車情況進行統(tǒng)計，統(tǒng)計情況如下表所示.已知分9期付款的頻率為0.4；該店經銷一輛該品牌汽車，若顧客分3期付款，其利潤為1萬元；分6期或9期付款，其利潤為2萬元；分12期付款，其利潤為3萬元.

付款方式

分3期

分6期

分9期

分12期

頻數

20

20

（1）若以上表計算出的頻率近似替代概率，從該店采用分期付款購車的顧客（數量較大）中隨機抽取3為顧客，求事件：“至多有1位采用分6期付款“的概率；

（2）按分層抽樣方式從這100為顧客中抽取5人，再從抽取的5人中隨機抽取3人，記該店在這3人身上賺取的總利潤為隨機變量，求的分布列和數學期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為調查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人，結果如下：

（Ⅰ）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；

（Ⅱ）能否有的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？

（Ⅲ）根據（Ⅱ）的結論，能否提供更好的調查方法來估計該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由.

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中， 平面，底面為直角梯形， ， ， ，且為線段上的一動點．

（Ⅰ）若為線段的中點，求證： 平面；

（Ⅱ）當直線與平面所成角小于，求長度的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在某次水下科研考察活動中，需要潛水員潛入水深為60米的水底進行作業(yè)，根據已往經驗，潛水員下潛的平均速度為（米/單位時間），每單位時間的用氧量為（升），在水底作業(yè)10個單位時間，每單位時間用氧量為（升），返回水面的平均速度為（米/單位時間），每單位時間用氧量為（升），記該潛水員在此次考察活動中的總用氧量為（升）.

（1）求關于的函數關系式；

（2）若，求當下潛速度取什么值時，總用氧量最少.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點， 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知點的極坐標為，曲線的參數方程為為參數）.

（1）直線過且與曲線相切，求直線的極坐標方程；

（2）點與點關于軸對稱，求曲線上的點到點的距離的取值范圍.

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