Question

如圖，設F(－c, 0)是橢圓的左焦點，直線l：x＝－與x軸交于P點，MN為橢圓的長軸，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點P的直線m與橢圓相交于不同的兩點A, B。

①證明：∠AFM＝∠BFN；

②求△ABF面積的最大值。

Answer 1

（1）    ∵|MN|＝8, ∴a＝4，                              …………(1分)

又∵|PM|＝2|MF|，∴e＝，                  …………(2分)

∴c＝2, b²＝a²－c²＝12，                    

∴橢圓的標準方程為                …………(3分)

（2）①證明：

當AB的斜率為0時，顯然∠AFM＝∠BFN＝0，滿足題意；…………(4分)

當AB的斜率不為0時，設AB的方程為x＝my－8，

代入橢圓方程整理得(3m²＋4)y²－48my＋144＝0.           …………(5分)

△＝576(m²－4),   y_A＋y_B＝,    y_Ay_B＝.

則

,

而2my_Ay_B－6(y_A＋y_B)＝2m·－6·＝0，    …………(7分)

∴k_AF＋k_BF＝0，從而∠AFM＝∠BFN.

綜合可知：對于任意的割線PAB，恒有∠AFM＝∠BFN.     …………(8分)

②方法一：

S_△ABF＝S_△PBF－S_△PAF      …………(10分)

即S_△ABF＝，…………(12分)

當且僅當，即m＝±時（此時適合于△＞0的條件）取到等號。

∴△ABF面積的最大值是3.                          …………(13分)

方法二：

點F到直線AB的距離              …………(10分)

，                 …………(12分)

當且僅當，即m＝±時取等號。    …………(13分)