求證：存在無窮多對正整數(shù)（a，b）滿足ab|a8+b4+1．
考點(diǎn)：整除的基本性質(zhì)
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：利用整除的性質(zhì)，結(jié)合互質(zhì)數(shù)，推出滿足題意的解，類推出結(jié)果即可．
解答： 解：ab|a8+b4+1等價(jià)于ab|（a8+1）（b4+1）
注意到a與a8+1，b與b4+1互質(zhì)，因此ab|（a8+1）（b4+1）又等價(jià)于a|b4+1且b|a8+1，
假設(shè)（a，b）是一個(gè)解，顯然a≠b
如果a＜b，設(shè)aa'=b4+1，則b4＜b4+1=aa'＜ba'得到a'＞b3≥b．注意到b|（a8+1）a'8且b|（aa'）8-1，因此b|a'8+1，即（a'，b）也是一個(gè)解．a(chǎn)'+b＞a+b．
如果a＞b，設(shè)bb'=b8+1，類似上面的方法可以得到（a，b'）也是一個(gè)解且a+b'＞a+b．
顯然（2，1）是一個(gè)解．按上面的方法遞推可得無窮多個(gè)解．
∴存在無窮多對正整數(shù)（a，b）滿足ab|a8+b4+1．
點(diǎn)評：本題考查整除的性質(zhì)的應(yīng)用，互質(zhì)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知△ASD中，SD=3，CD=
5
，cos∠SDC=-
1
5
5
，SA=2AD，AB⊥SD交SC于B，M為SB上點(diǎn)，且SM=2MB，將△SAB沿AB折起，使平面SAB⊥平面ABCD

（Ⅰ）求證：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）求三棱錐S-CDM的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=
2x2-2x+1
x2
（x＞2）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若x∈[-π，π]，為使方程sinx-
3
cosx=q．
（1）有解；
（2）有兩個(gè)不同的解；
（3）僅有一解；
請分別求q的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

曲線E：
x2
m
+
y2
n
=1(m＞0，n＞0)與正方形M：|x|+|y|=4的邊界相切．
（1）求m+n的值；
（2）設(shè)直線l：y=x+b交曲線E于A，B，交M于C，D，且|CD|=4
2
．是否存在這樣的曲線E，使得|CA|，|AB|，|BD|成等差數(shù)列？若存在，求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，其焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e=2，拋物線D的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對稱軸，兩曲線在在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)A，且AF1⊥AF2，△AF1F2的面積為3
（Ⅰ）求雙曲線C和拋物線D的方程；
（Ⅱ）一條直線l與雙曲線C的兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)在拋物線D上，求直線l在y軸上的截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，求這個(gè)幾何體的表面積和體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=20，a2=30，an+1=3an-an-1（n∈N*，n≥2）．
（1）當(dāng)n=2，3時(shí)，分別求an2-an-1an+1的值，判斷an2-an-1an+1是否為定值，并給出證明；
（2）求出所有的正整數(shù)n，使得5an+1an+1為完全平方數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1+a4=10，O是平面上任意一點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)共線，且滿足
O
A=an•
O
B-（1+an-1）•
O
C，則{an}的前10項(xiàng)和為
 
．

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