Question

11．已知a＞0，a≠1且log_a3＞log_a2，若函數(shù)f（x）=log_ax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差為1．
（1）求a的值；
（2）解不等式${log_{\frac{1}{3}}}（x-1）＞{log_{\frac{1}{3}}}（a-x）$；
（3）求函數(shù)g（x）=|log_ax-1|的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到log_a（2a）-log_aa=1，求出a的值即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于x的不等式組，解出即可；
（3）通過討論x的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）∵log_a3＞log_a2，∴a＞1，
又∵y=log_ax在[a，2a]上為增函數(shù)，
∴l(xiāng)og_a（2a）-log_aa=1，∴a=2．
（2）依題意可知$\left\{\begin{array}{l}x-1＜2-x\\ x-1＞0\end{array}\right.$解得$1＜x＜\frac{3}{2}$，
∴所求不等式的解集為$（1，\frac{3}{2}）$．
（3）∵g（x）=|log₂x-1|，
∴g（x）≥0，當且僅當x=2時，g（x）=0，
則$g（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{log_2}x，0＜x≤2\\{log_2}x-1，x＞2\end{array}\right.$
∴函數(shù)在（0，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)，
g（x）的減函數(shù)為（0，2），增區(qū)間為（2，+∞）．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．