Question

已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2-a_n；等差數(shù)列{b_n}中b₁=4，且b₂-1是b₁-1與b₄-1的等比中項(xiàng)
（Ⅰ）求a_n和b_n，
（Ⅱ）記cn=

bn

an

，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）通過S_n求出S_n-1，然后兩式相減得到a_n的遞推形式，an=

S1，n=1 Sn-Sn-1

，不要忘了驗(yàn)證a₁是否滿足a_n，從而求出{a_n}的通項(xiàng)公式；由等差數(shù)列{b_n}中b₁=4，且b₂-1是b₁-1與b₄-1的等比中項(xiàng)，建立方程求出d，由此能求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）分類討論思想，因?yàn)椋á瘢﹩栔星蟪龅膡b_n}的通項(xiàng)公式有兩個(gè)，所以{c_n}也是兩個(gè)：cn=2n-1或cn=(3n+1)•2n+1，由此分別計(jì)算，能求出{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）對(duì)于數(shù)列{a_n}，由題意知S_n=2-a_n，①
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2-a_n-1，②
①-②得S_n-S_n-1=-a_n+a_n+1（n≥2），
即a_n=-a_n+a_n-1，
∴2a_n=a_n-1（n≥2），
∵a_n≠0，∴

an

an-1

=

1

2

，（n≥2）
∵a₁=2-a₁，∴a₁=1，
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴an=(

1

2

)n-1．
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，
∵b₁=4，且b₂-1是b₁-1與b₄-1的等比中項(xiàng)，
b₁=4，b₂=4+d，b₃=4+3d，
∴（3+d）²=3（3+d），
解得d=0，或d=3．
當(dāng)d=0時(shí)，b_n=4；當(dāng)d=3時(shí)，b_n=3n+1．
（Ⅱ）當(dāng)b_n=4時(shí)，cn=

bn

an

=（3n1）•2^n-1，
∴Tn=

4(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺²-4．
當(dāng)b_n=3n+1時(shí)，Cn=

bn

an

=（3n+1）•2ⁿ，
Tn=4•20+7•2+10•22+…+(3n+1)•2^n-1，③
2T_n=4•2+7•2²+10•2³+…+（3n+1）•2ⁿ，④
③-④得-T_n=4+3（2+2²+…+2^n-1）-（3n+1）•2ⁿ
=4+3•

2(1-2n-1)

1-2

-（3n+1）•2ⁿ
=4+2•2ⁿ-6-（3n+1）•2ⁿ
=（2-3n）•2ⁿ-2，
∴T_n=2+（3n-2）•2ⁿ．
綜上：b_n=4時(shí)，Tn =2n+2-4；
b_n=3n+1時(shí)，Tn=2+(3n-2)•2n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n基和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．