Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+1+a•e^x的兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，滿(mǎn)足x₁＜x₂
（1）x＞2時(shí)，比較e^x與x（x-1）的大小；
（2）求a的取值范圍；
（3）證明：x₁+x₂＞4．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）令h（x）=e^x-x（x-1），求得導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性，即可比較；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，a≥0，a＜0，a＜-2，由單調(diào)性，即可得到；
（3）由于x₁，x₂為函數(shù)y=-ae^x和直線(xiàn)y=2x-2的交點(diǎn)，且a→-2時(shí)，f′（x₁）=f′（x₂）→2，而e^x單調(diào)遞增，即可得證．

解答： （1）解：令h（x）=e^x-x（x-1），h′（x）=e^x-2x+1，
再令m（x）=h′（x），則m′（x）=e^x-2，當(dāng)x＞2時(shí)，e^x＞2，
則m′（x）＞0，m（x）在x＞2上遞增，則m（x）＞m（2），
即有h′（x）＞e²-4+1＞0，
即有h（x）在x＞2上遞增，即h（x）＞h（2）=e²-2＞0，
則x＞2時(shí)，有e^x＞x（x-1）；
（2）解：f′（x）=2x-2+a•e^x，
由于函數(shù)f（x）=x²-2x+1+a•e^x的兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
即x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩根，
若a≥0，則f′（x）單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)實(shí)根，故a＜0，
當(dāng)a＜-2時(shí)，在x＞0的區(qū)域無(wú)解．故a的取值范圍是：（-2，0）；
（3）證明：由于x₁，x₂為函數(shù)y=-ae^x和直線(xiàn)y=2x-2的交點(diǎn)，
且a→-2時(shí)，f′（x₁）=f′（x₂）→2，而e^x單調(diào)遞增，
所以x₂-2＞2-x₁，即有x₁+x₂＞4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)比較大小的思想方法，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．