Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線 

x=cosφ y=sinφ

（φ為參數(shù)），經(jīng)坐標(biāo)變換

x′=ax y′=by

（a＞0，b＞0）后所得曲線記為C．A、B是曲線C上兩點(diǎn)，且OA⊥OB．
（1）求曲線C的普通方程；
（2）求證：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,伸縮變換

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）首先，根據(jù)坐標(biāo)變換，得到曲線C的參數(shù)方程，然后，消去參數(shù)，得到其普通方程；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求解和化簡(jiǎn)即可．

解答： 解：（1）∵

x′=ax y′=by

（a＞0，b＞0），
∴，

x′ a =cosφ y′ b =sinφ

，
∴

x′=acosφ y′=bsinφ

（φ為參數(shù)）為曲線C的參數(shù)方程．    …（3分）         
消參可得曲線C的普通方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）…（6分）
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，且取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系．   …（7分）
所以有

ρ2cos2θ

a2

+

ρ2sin2θ

b2

=1，
∴ρ2=

1

cos2θ a2 + sin2θ b2

=

a2b2

b2cos2θ+a2sin2θ

，

設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

），則
|AB|=

ρ12+ρ22

，
∴點(diǎn)O到AB直線的距離為

|OA|•|OB|

|AB|

=

ρ1ρ2

ρ12+ρ22

=

1

1 ρ22 + 1 ρ12

=

ab

a2+b2

∴點(diǎn)O到AB直線的距離為定值．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了參數(shù)方程、距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．