Question

對(duì)于任意的n∈N*，數(shù)列{a_n}滿足

a1-1

21+1

+

a2-2

22+1

+…+

an-n

2n+1

=n+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：對(duì)于n≥2，

2

a2

+

2

a3

+…+

2

an+1

＜1-

1

2n

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由

a1-1

21+1

+

a2-2

22+1

+…+

an-n

2n+1

=n+1，取n=n-1得另一遞推式，作差后即可得到n≥2時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出首項(xiàng)后驗(yàn)證得答案；
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時(shí)，由

2

an

=

2

2n+1+n

＜

2

2n

=

1

2n-1

，然后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和證得數(shù)列不等式．

解答： （Ⅰ）解：由

a1-1

21+1

+

a2-2

22+1

+…+

an-n

2n+1

=n+1  ①，
當(dāng)n≥2時(shí)，得

a1-1

21+1

+

a2-2

22+1

+…+

an-1-(n-1)

2n-1+1

=n  ②，
①-②得

an-n

2n+1

=1(n≥2)．
∴an=2n+1+n(n≥2)． 
又

a1-1

21+1

=2，得a₁=7不適合上式．
綜上得an=

7，n=1 2n+1+n，n≥2

；
（Ⅱ）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，

2

an

=

2

2n+1+n

＜

2

2n

=

1

2n-1

．
∴

2

a2

+

2

a3

+…+

2

an+1

＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

2

a2

+

2

a3

+…+

2

an+1

＜1-

1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．