Question

【題目】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，（）.

（1）當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式：

（2）求在區(qū)間的最大值的表達(dá)式；

（3）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程（a，）恰有10個(gè)不同實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)偶函數(shù)的特點(diǎn)，可知，可得結(jié)果.

（2）采用分類討論方法，與，去掉絕對(duì)值研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得結(jié)果.

（3）畫(huà)出函數(shù)圖像，利用換元法，得出與，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)根為，可得，最后計(jì)算可得結(jié)果.

（1）令，則

由當(dāng)時(shí)，

所以

又函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，

即

所以

所以當(dāng)時(shí)，

（2）當(dāng)時(shí)，

如圖

可知函數(shù)的最大值在或處取得，

所以，

①若，此時(shí)

②若，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為

③若，即時(shí)，則，

④若，即時(shí)，則

綜上，得

（3）當(dāng)時(shí)，

如圖

令

由的圖象可知，

當(dāng)時(shí)，方程有兩解；

當(dāng)時(shí)，方程有四解；

當(dāng)時(shí)，方程有六解；

當(dāng)時(shí)，方程有三解；

當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解.

要使方程（a，）

恰有10個(gè)不同實(shí)數(shù)解，

則關(guān)于t的方程的一個(gè)根為1，

另一個(gè)根，設(shè)，則有

則

所以a的取值范圍為.