Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x-cos2x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若f（α）=

3

4

，求sin4α的值．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的化簡求值,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）運用兩角差的正弦公式，由周期公式即可計算得到；
（Ⅱ）運用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，解不等式，再由k=0，1，即可求得在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）運用平方法，結(jié)合二倍角的正弦公式，計算即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sin2x-cos2x=

2

（

2

2

sin2x-

2

2

cos2x）
=

2

sin（2x-

π

4

），
即有函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）由f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，可得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
k=0時，-

π

8

≤x≤

3π

8

，k=1時，

7π

8

≤x≤

11π

8

，
則f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，

3π

8

]，[

7π

8

，π]；
（Ⅲ）若f（α）=

3

4

，則sin2α-cos2α=

3

4

，
兩邊平方可得sin²2α+cos²2α-2sin2αcos2α=

9

16

，
即有1-sin4α=

9

16

，
則有sin4α=

7

16

．

點評：本題考查正弦函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間，考查兩角差的正弦公式的運用，考查二倍角公式的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．