考點:數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)直接由數(shù)列遞推式求得S1,S2的值;
(2)根據(jù)(1)中求得的最值猜測Sn,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解答:
解:(1)∵數(shù)列{a
n}滿足S
n+
+2=a
n,
∴
S1++2=S1,得
S1=-;
當(dāng)n≥2時,a
n=S
n-S
n-1,
∴S
n+
+2=S
n-S
n-1,
化為S
n(S
n-1+2)=-1.
∵
S1=-,∴
S2=-;
(2)由
S1=-,
S2=-,代入S
n(S
n-1+2)=-1得
S3=-,
…
由上猜測
Sn=-.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時,
S1=-,成立;
②假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立,即
Sk=-,
那么,當(dāng)n=k+1時,
Sk+1=-=-=-=
-.
結(jié)論成立.
總①②所述,結(jié)論對于任意的n∈N
*都成立.
∴
Sn=-.
點評:本題考查了數(shù)列遞推式,考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的問題,是中檔題.