Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求；

（2）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，則，通過分類討論參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性和最值，即可求得.

（2）要證，即證，當(dāng)時(shí)，，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出在單調(diào)遞增，得出，即可證明出.

解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，

①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

所以．

②當(dāng)時(shí)，令，解得，，

（i）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

由上知，此時(shí)；

（ii）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以；

（iii）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

此時(shí)．

綜上得：，

即當(dāng)時(shí)，，屬于一次函數(shù)，

由于，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間上，；

當(dāng)時(shí)，，則，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間上，；

當(dāng)時(shí)，，

綜合上述得出：．

（2）原式轉(zhuǎn)化為求證，

當(dāng)時(shí)，，

所以是方程的兩根，所以，，

因?yàn)?/span>且，，所以，，

所以，

令，則，

所以在單調(diào)遞增，所以，

即．