Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=4，S_n=na_n+2-

n(n-1)

2

（n≥2，n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：b₁=4，且b_n+1=b_n²-（n-1）b_n-2（n∈N^*），求證：b_n＞a_n（n≥2，n∈N^*）；
（3）求證：(1+

1

b2b3

)(1+

1

b3b4

)…(1+

1

bnbn-1

)＜

3	e

(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n-a_n-1=1，（n≥3，n∈N^*），a₂=3，從而求出a_n=

4，n=1 n+1，n≥2

．
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
（3）設(shè)f（x）=ln（1+x）-x，則f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，從而ln（1+x）＜x，ln（1+

1

bnbn+1

）＜

1

bnbn+1

＜

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，由此能證明(1+

1

b2b3

)(1+

1

b3b4

)…(1+

1

bnbn-1

)＜

3	e

(n≥2，n∈N*)．

解答： （1）解：當(dāng)n≥3時(shí)，Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，①
Sn-1=(n-1)an-1+2-

(n-1)(n-2)

2

，②
①-②，得an=nan-(n-1)an-1-

n-1

2

×2，
∴a_n-a_n-1=1，（n≥3，n∈N^*），
∵a₁+a₂=2a₂+2-1，
∴a₂=3，
∴a_n=

4，n=1 n+1，n≥2

．
（2）證明：①當(dāng)n=2時(shí)，b2=b12-2=14＞3=a2，不等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2，k∈N^*）時(shí)，不等式成立，即b_k＞k+1，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
bk+1=bk2-(k-1)bk-2
=b_k（b_k-k+1）-2
＞2b_k-2＞2（k+1）-2=2k≥k+2，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立，
由①②，得b_n＞a_n（n≥2，n∈N^*）．
（3）證明：設(shè)f（x）=ln（1+x）-x，f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，f（x）＜f（0），
∴l(xiāng)n（1+x）＜x，
∵當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，

1

bn

＜

1

an

=

1

n+1

，
∴l(xiāng)n（1+

1

bnbn+1

）＜

1

bnbn+1

＜

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴l(xiāng)n（1+

1

b2b3

）+ln（1+

1

b3b4

）+…+ln（1+

1

bnbn+1

）
＜

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

3

-

1

n+2

＜

1

3

，
∴(1+

1

b2b3

)(1+

1

b3b4

)…(1+

1

bnbn-1

)＜

3	e

(n≥2，n∈N*)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法、裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．