Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（k+1）x+lg|k+2|（k≠-1）．
（1）若f（x）能表示為一個(gè)奇函數(shù)g（x）和一個(gè)偶函數(shù)h（x）之和，試求g（x）與h（x）的表達(dá)式；
（2）若f（x）和g（x）在區(qū)間[lg|k+2|，（k+1）²]上都是單調(diào)遞減函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由奇偶性的定義，列出方程，得到又一方程，兩式相加、減，即可得到；
（2）由一次函數(shù)的單調(diào)性，和二次函數(shù)的單調(diào)性，得到不等式，解得即可．

解答： 解：（1）由題意，可得，
f（x）=g（x）+h（x），以-x代x，可得，
f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），
兩式相加，可得，h（x）=

1

2

[f（x）+f（-x）]=x²+lg|k+2|，
則有h（x）=（k+1）x；
（2）由于f（x）和g（x）在區(qū)間[lg|k+2|，（k+1）²]上都是單調(diào)遞減函數(shù)，
則k+1＜0，即k＜-1，
函數(shù)f（x）=x²+（k+1）x+lg|k+2|（k≠-1）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，

k+1

2

]，
則有l(wèi)g|k+2|＜（k+1）²≤

k+1

2

且k＜-1，
解得，-

3

2

≤k＜-1．
故k的取值范圍為[-

3

2

，-1）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：求參數(shù)的范圍，考查函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用：求解析式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．