Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y=

1

4

x²的焦點，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a≥b≥1）的離心率

3

2

，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點，過右焦點的直線交橢圓A、B兩點且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標(biāo)原點），當(dāng)|AB|＜

3

時，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率e=

c

a

=

3

2

，拋物線方程化為x²=4y，其焦點為（0，1），即b=1，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)AB方程為y=k（x-3），由

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵離心率e=

c

a

=

3

2

，∴

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，
整理，得a²=b²，
拋物線方程化為x²=4y，其焦點為（0，1），
∴b=1，
∴a²=4，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），AB方程為y=k（x-3），
由

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，
由△=24k⁴-16（9k²-1）（1+4k²）＞0，得k2＜

1

5

，
x1+x2=

24k2

1+4k2

，x1x2=

36k2-4

1+4k2

，
∴

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
則x=

1

t

(x1+x2)=

24k2

t(1+4k2)

，
y=

1

t

(y1+y2)=

1

t

[k(x1+x2)-6k]=

-6k

t(1+4k2)

，
由點P在橢圓上，得

(24k2)2

t2(1+4k2)2

+

144k2

t2(1+4k2)2

=4，
化簡，得36k²=t²（1+4k²），①
又曲|AB|=

1+k2

|x1-x2|＜

3

，
即（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]＜3，
將x1+x2=

24k2

1+4k2

，x1x2=

36k2-4

1+4k2

代入，得：
（1+k²）[

242k2

(1+4k2)2

-

4(36k2-4)

1+4k2

]＜3，
化簡，得（8k²-1）（16k²+13）＞0，
則8k2-1＞0，k2＞

1

8

，
∴

1

8

＜k2＜

1

5

，②
由①，得t2=

36k2

1+4k2

=9-

9

1+4k2

，
聯(lián)立②得3＜t²＜4，
∴-2＜t＜-

3

或

3

＜t＜2．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．