在如圖所示的組合體中，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面ABB1A1是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個(gè)點(diǎn)．
（Ⅰ）若圓柱的軸截面是正方形，當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線A1C與AB1的所成角的大��；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求四棱錐A1-BCC1B1與圓柱的體積比．
考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）,異面直線及其所成的角
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)D，連接OD，AD，則OD∥A1C，∠AOD（或其補(bǔ)角）為異面直線A1C與AB1的所成角，利用余弦定理，可求異面直線A1C與AB1的所成角的大��；
（II）設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長度為h，當(dāng)點(diǎn)C是弧弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求出三棱柱ABC-A1B1C1的體積，求出三棱錐A1-ABC的體積為，從而求出四棱錐A1-BCC1B1的體積，再求出圓柱的體積，即可求出四棱錐A1-BCC1B1與圓柱的體積比．
解答： 解：（Ⅰ）如圖，取BC的中點(diǎn)D，連接OD，AD，則OD∥A1C，
∴∠AOD（或其補(bǔ)角）為異面直線A1C與AB1的所成角，
設(shè)正方形的邊長為2，則△AOD中，OD=
1
2
A1C=
6
2
，AO=
2
，AD=
10
2
，
∴cos∠AOD=
2+
3
2
-
5
2
2×
2
×
6
2
=
3
6

∴∠AOD=arccos
3
6
；
（Ⅱ）設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長度為h，
當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，AC=BC=
2
r，
VA1-BCC1B1=
1
3
•(
2
r)•(
2
r)•h=
2
3
r2h，V圓柱=πr2h，
∴VA1-BCC1B1：V圓柱=2：3π．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系，以及幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x）=
x  ， 0≤x≤1
(
1
3
)x-1 ，-1＜x＜0
，且對(duì)任意的x∈R都有f（x+1）=f（x-1），若在區(qū)間[-1，5]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m，恰有6個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A、（
1
4
，
1
6
]
B、（
1
3
，
1
4
]
C、（0，
1
5
]
D、（0，
1
6
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ABC=
π
2
，AB=BC=
1
2
AD=2，PA=PB=PC=2．
（1）證明：CD⊥平面PAC；
（2）若E為PC的中點(diǎn)，直線PB與平面AED交于點(diǎn)F，求三棱錐P-AEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a、b、c成等比數(shù)列，且cosB=
3
4
．
（Ⅰ）求
1
tanA
+
1
tanC
的值；
（Ⅱ）設(shè)
BA
•
BC
=
3
2
，求a、c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y=
1
4
x2的焦點(diǎn)，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a≥b≥1）的離心率
3
2
，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓A、B兩點(diǎn)且滿足
OA
+
OB
=t
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|AB|＜
3
時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（sin（
x
2
+
π
12
），cos
x
2
），
b
=（cos（
x
2
+
π
12
），-cos
x
2
），x∈[
π
2
，π]，設(shè)函f（x）=
a
•
b
．
（1）若cosx=-
3
5
，求函數(shù)f（x）的值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象先向右平移m個(gè)單位，再向上平移n個(gè)單位，使平移后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若0＜m＜π，n＞0，試求m，n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=3，底面邊長為
3
．
（1）求異面直線BC1與AA1所成角的大��；
（2）求該三棱柱的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，∠DAB=
π
3
，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，E、F分別在棱PC、PA上，CE=
1
3
CP，AF=
1
3
AP，G為PD中點(diǎn)，△PBD是邊長為6的等邊三角形．
（Ⅰ）求證：B、E、C、F四點(diǎn)共面；
（Ⅱ）求V四棱錐P-BECF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+m）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，不等式f（x）≥0恒成立？
（3）證明：當(dāng)m∈N且m＞1時(shí)，方程f（x）=0在[1-m，em-m]內(nèi)有唯一實(shí)根．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；參考公式：2m=C
 
0
m
+C
 
1
m
+C
 
2
m
+…+C
 
m
m
）

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