Question

【題目】如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，且BC=2AB═4，∠ABC=60°，點E是PD的中點．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）當二面角E﹣AC﹣D的大小為45°時，求AP的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在底面為平行四邊形的四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，

∴AC⊥PA，

∵BC=2AB═4，∠ABC=60°，

∴AC= =2 ，

∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC，

∵PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB，

∵PB平面PAB，∴AC⊥PB．

（2）解：以A為原點，AC為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，

設AP=t，則P（0，0，t），D（2 ，2，0），E（ ），C（2 ，0，0），A（0，0，0），

=（2 ，0，0）， =（ ），

設平面ACE的法向量 =（x，y，z），

則 ，取z=2，得 =（0，﹣t，2），

平面ACD的法向量 =（0，0，1），

∵二面角E﹣AC﹣D的大小為45°，

∴cos45°= = ，

解得t=2．∴AP=2．

【解析】（1）推導出AC⊥PA，AB⊥AC，從而AC⊥平面PAB，由此能證明AC⊥PB．（2）以A為原點，AC為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AP．
【考點精析】認真審題，首先需要了解空間中直線與直線之間的位置關系(相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點)．