Question

【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)為，為上頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）若，求直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)與軸垂直的直線為，的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求證：直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）直接求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線方程，得其與軸交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)，則，求出直線和的方程，從而求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，證明此交點(diǎn)在橢圓上，即此點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程．代入驗(yàn)證即可．注意分和說明．

解：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合，

（1）由題知，，則．因?yàn)?/span>，所以，

則直線的方程為，聯(lián)立，可得

故．則，直線的方程為．令，

得，故直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

（2）證明：因?yàn)?/span>，，所以．設(shè)點(diǎn)，則．

設(shè)

當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)直線與軸垂直，

其直線方程為，

直線的方程為，即．

在方程中，令，得，得交點(diǎn)為，顯然在橢圓上．

同理當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)也在橢圓上．

當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線的方程為，即．

直線的方程為，聯(lián)立方程，

消去得，化簡(jiǎn)并解得．

將代入中，化簡(jiǎn)得．

所以兩直線的交點(diǎn)為．

因?yàn)?/span>

，

又因?yàn)?/span>，所以，

則，

所以點(diǎn)在橢圓上．

綜上所述，直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上．