Question

已知函數(shù)，.

（1）如果函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，求的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？若存在，請(qǐng)求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在，且的范圍是．

【解析】

試題分析：（1）由于是多項(xiàng)式函數(shù)，故對(duì)最高次項(xiàng)系數(shù)分類(lèi)，時(shí)它是一次函數(shù)，是增函數(shù)，不是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是二次函數(shù)，需要考慮對(duì)稱(chēng)軸和開(kāi)口方向；（2）首先把方程化簡(jiǎn)，變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042204372425113513/SYS201404220438403448862719_DA.files/image008.png">，設(shè)，即方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性及極值問(wèn)題，如本題中，通過(guò)分析導(dǎo)函數(shù)，知在上是減函數(shù)，在上增函數(shù)，因此條件為解這個(gè)不等式組即得所求的取值范圍．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，在是單調(diào)增函數(shù)，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸方程為，由于在上是單調(diào)增函數(shù)，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，則，解得．

綜上，的取值范圍是．  4分

（2）把方程整理為，

即為方程，  5分

設(shè)，原方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．  6分

，

令，∵，解得或（舍），

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)．  10分

在內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，只需  11分

即　∴

解得，所以的取值范圍是．

考點(diǎn)：（1）單調(diào)減函數(shù)的判定；（2）方程根的個(gè)數(shù)的判定．