Question

設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+bx（a＞0），g（x）=x²
（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），是否存在k和m，使得f（x）≤kx+m，g（x）≥kx+m？若存在，求出k和m的值，若不存在，說(shuō)明理由
（2）設(shè)G（x）=g（x）-f（x）+2有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且x₁，x₀，x₂成等差數(shù)列，G′（x）是G（x）的導(dǎo)函數(shù)，求證：G′（x₀）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求f′（x），然后根據(jù)條件很容易求出k，m，這時(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)f（x）和g（x）圖象有一個(gè)公共點(diǎn)（1，1），根據(jù)問(wèn)題：是否存在k和m，使得f（x）≤kx+m，g（x）≥kx+m，也就是找到一條直線(xiàn)要同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)不等式．根據(jù)存在的公共點(diǎn)可以想到是否是過(guò)這一點(diǎn)的直線(xiàn)，而我們能求的是過(guò)這點(diǎn)g（x）的切線(xiàn)，所以求出這條切線(xiàn)，然后去驗(yàn)證它是否同時(shí)滿(mǎn)足f（x）≤kx+m，g（x）≥kx+m即可．
（2）先求出G（x），根據(jù)條件x₁，x₂是它的兩個(gè)零點(diǎn)，所以很自然的會(huì)得到：

x12-alnx1-bx1+2=0 x22-alnx2-bx2+2=0

．根據(jù)所要證的結(jié)論：＞0，所以需要求G′（x₀），∵x₁+x₂=2x₀，所以要想著要用x₁，x₂來(lái)表示G′（x₀），然后判斷它是否大于0即可．

解答： 解：（1）f′（x）=

a

x

+b，由f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）得：

b=1 a+b=2

，解得a=b=1．
∴f（x）=lnx+x．
因f（x）與g（x）有一個(gè)公共點(diǎn)（1，1），而函數(shù)g（x）=x²在點(diǎn)（1，1）的切線(xiàn)方程為y=2x-1．
下面驗(yàn)證

f(x)≤2x-1 g(x)≥2x-1

都成立即可．
設(shè)h（x）=lnx+x-（2x-1）=lnx-x+1，h′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

．
x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＞0；x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，∴x=1時(shí)，h（x）取到最大值h（1）=0；
∴l(xiāng)nx+x≤2x-1恒成立，即f（x）≤2x-1．
由x²-2x+1≥0，得x²≥2x-1，∴g（x）≥2x-1恒成立．
故存在這樣的k，m，且k=2，m=-1．
（2）∵G（x）=g（x）-f（x）+2=x²-alnx-bx+2，有兩零點(diǎn)x₁，x₂，則有：

x12-alnx1-bx1+2=0 x22-alnx2-bx2+2=0

；
兩式相減得：x22-x12-a(lnx2-lnx1)-b(x2-x1)=0；
∴（x₁+x₂）-b=

a(lnx2-lnx1)

x2-x1

；
又x₁+x₂=2x₀，則：
G′（x₀）=2x0-

a

x0

-b=(x1+x2-b)-

2a

x1+x2

=

a(lnx2-lnx1)

x2-x1

-

2a

x1+x2

=

a

x2-x1

[ln

x2

x1

-

2(x2-x1)

x2+x1

]=

a

x2-x1

[ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

]；
①當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，令

x2

x1

=t，則t＞1，且G′（x₀）=

a

x2-x1

[lnt-

2(t-1)

1+t

]；
設(shè)μ（t）=lnt-

2(t-1)

1+t

，∴μ′（x）=

1

t

-

4

(1+t)2

=

(1-t)2

t(1+t)2

＞0；
∴μ（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)，而μ（1）=0；
∴μ（t）＞0，即：lnt-

2(t-1)

1+t

＞0，又a＞0，x₂-x₁＞0，∴G′（x₀）＞0．
②當(dāng)0＜x₂＜x₁時(shí)，同理可得G′（x₀）＞0．
綜上可得：G′（x₀）＞0．

點(diǎn)評(píng)：求解第一問(wèn)的關(guān)鍵是找到過(guò)（1，1）的切線(xiàn)方程．第二問(wèn)的關(guān)鍵是，由x₁，x₂是零點(diǎn)求出x₁+x₂，并求出G′（x₀）=

a

x2-x1

[ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

]．對(duì)于本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：利用導(dǎo)數(shù)求過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，等差數(shù)列，以及利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的取值．