Question

拋物線C的方程為y=ax²（a＜0），過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀≠0）作斜率為k₁、k₂的兩條直線分別交拋物線C于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同），且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1）．
（1）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y₁的取值范圍；
（3）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足

BM

=λ

MA

，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）數(shù)形結(jié)合，依據(jù)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程寫焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．
（2）∠PAB為鈍角時(shí)，必有

AP

•

AB

＜0．用k₁表示y₁，通過(guò)k₁的范圍來(lái)求y₁的范圍．
（3）先依據(jù)條件求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，證明x_M+x₀=0．由此能證明證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上．

解答： （1）解：由拋物線C的方程y=ax²（a＜0）得，
焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，

1

4a

)，…（2分）
準(zhǔn)線方程為y=-

1

4a

．…（4分）
（2）因?yàn)辄c(diǎn)P（1，-1）在拋物線y=ax²上，
所以a=-1，拋物線方程為y=-x²．…（5分）
∵設(shè)直線PA的方程為y-y₀=k₁（x-x₀），直線PB的方程為y-y₀=k₂（x-x₀）．
點(diǎn)P（x₀，y₀）和點(diǎn)A（x₁，y₁）的坐標(biāo)是方程組

y-y0=k1(x-x0)             ① y=ax2                              ②

的解．
將②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，于是x₁+x₀=

k1

a

，故x₁=

k1

a

-x₀ ③．
又點(diǎn)P（x₀，y₀）和點(diǎn)B（x₂，y₂）的坐標(biāo)是方程組

y-y0=k2(x-x0)        ④   y=ax2                         ⑤

 的解．
將⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x₀-y₀=0．于是x₂+x₀=

k2

a

，故x₂=

k2

a

-x₀．
由已知得，k₂=-λk₁，則x₂=-

λ

a

k₁-x₀． ⑥，…（7分）
由③式知x₁=-k₁-1，代入y=-x²得y1=-(k1+1)2．
將λ=1代入⑥式得x₂=k₁-1，代入y=-x²得y2=-(k2+1)2．
因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(-k1-1，-k12-2k1-1)，B(k1-1，-k12+2k1-1)．
于是

AP

=(k1+2，k12+2k1)，

AB

=(2k1，4k1)

AP

•

AB

=2k1(k1+2)+4k1(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1)．
因∠PAB為鈍角且P、A、B三點(diǎn)互不相同，故必有

AP

•

AB

＜0．
求得k₁的取值范圍是k₁＜-2或-

1

2

＜k1＜0．…（8分）
又點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y₁滿足y1=-(k1+1)2，
故當(dāng)k₁＜-2時(shí)，y₁＜-1；當(dāng)-

1

2

＜k1＜0時(shí)，-1＜y1＜-

1

4

．
即y1∈(-∞，-1)∪(-1，-

1

4

)…（10分）
（3）證明：設(shè)直線PA、PB的方程分別為y-y₀=k₁（x-x₀）、y-y₀=k₁（x-x₀）．…（11分）
點(diǎn)P（x₀，y₀）和點(diǎn)A（x₁，y₁）的坐標(biāo)是方程組

y-y0=k1(x-x0)…(1) y=ax2…(2)

的解．
將②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，于是x1+x0=

k1

a

，
故x1=

k1

a

-x0③…（13分）
又點(diǎn)P（x₀，y₀）和點(diǎn)B（x₂，y₂）的坐標(biāo)是方程組

y-y0=k2(x-x0)…(4) y=ax2…(5)

的解．
將⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x₀-y₀=0．
于是x2+x0=

k2

a

，故x2=

k2

a

-x0．    …（14分）
由已知得，k₂=-λk₁，則x2=-

λ

a

k1-x0．　�、�
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x_M，y_M），由

BM

=λ

MA

，則xM=

x2+λx1

1+λ

．…（15分）
將③式和⑥式代入上式得xM=

-x0-λx0

1+λ

=-x0，即x_M+x₀=0．
∴線段PM的中點(diǎn)在y軸上．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線等橢圓知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．