在等差數(shù)列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n項(xiàng)為Sn
(1)求Sn的最小值,并求出Sn<0時(shí)n的最大值;
(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.
考點(diǎn):數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由已知條件求出a17=-12,從而得到d=3,由此求出前n項(xiàng)和,利用配方法能求出Sn的最小值.由Sn<0得
3
2
(n2-41n)<0,解得即可.
(2)數(shù)列{an}中,前20項(xiàng)小于0,第21項(xiàng)等于0,以后各項(xiàng)均為正數(shù),所以當(dāng)n≤21時(shí),Tn=-Sn,當(dāng)n>21時(shí),Tn=Sn-2S21,由此利用分類討論思想能求出Tn
解答: 解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,
∵a16+a17+a18=3a17=-36,∴a17=-12,
∴d=
a17-a9
17-9
=
24
8
=3,
∴a9=a1+8×3=-36,解得a1=-60,
∴Sn=-60n+
n(n-1)
2
×3=
3
2
(n2-41n)=
3
2
(n-
41
2
2-
5043
8

∴當(dāng)n=20或n=21時(shí),Sn取最小值-630.
∵Sn=
3
2
(n2-41n)<0
∴n<41,
∴n的最大值為40.
(2))∵a1=-60,d=3,
∴an=-60+(n-1)×3=3n-63,
由an=3n-63≥0,得n≥21,
∵a20=3×20-63=-3<0,a21=3×21-63=0,
∴數(shù)列{an}中,前20項(xiàng)小于0,第21項(xiàng)等于0,以后各項(xiàng)均為正數(shù),
當(dāng)n≤21時(shí),Tn=-Sn=-
n(-60+3n-63)
2
=-
3
2
n2+
123
2
n.
當(dāng)n>21時(shí),Tn=Sn-2S21=
n(-60+3n-63)
2
-2S21=
3
2
n2-
123
2
n+1260.
綜上,Tn=
-
3
2
n2+
123
2
n,(n≤21.n∈N*)
3
2
n2-
123
2
n+1260,(n>21,n∈N*)
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值的求法,考查數(shù)列的各項(xiàng)的絕對值的和的求法,是中檔題,解題時(shí)要注意分類討論思想的合理運(yùn)用.
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3
4
|A1Q|•|A2Q|
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FA
FB
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-3f′(an)+9
(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)結(jié)論,若b2=
(sn-2)•3n
4nan
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2
3

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1
2
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3
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3
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