Question

15．小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了12元，然后發(fā)給朋友A，如果A猜中，A將獲得紅包里的所有金額；如果A未猜中，A將當前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友B，如果B猜中，A、B平分紅包里的金額；如果B未猜中，B將當前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友C，如果C猜中，A、B和C平分紅包里的金額；如果C未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)A、B、C猜中的概率分別為$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，且A、B、C是否猜中互不影響．
（1）求A恰好獲得4元的概率；
（2）設(shè)A獲得的金額為X元，求X的分布列；
（3）設(shè)B獲得的金額為Y元，C獲得的金額為Z元，判斷A所獲得的金額的期望能否超過Y的期望與Z的期望之和．

Answer 1

分析 （1）由相互獨立事件概率乘法公式能求出A恰好獲得4元的概率．
（2）X的可能取值為0，4，6，12，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列．
（3）Y的可能取值為0，4，6；Z的可能取值為0，4．分別求出相應的概率，由此能求出A所獲得的金額的期望能超過Y的期望與Z的期望之和．

解答 解：（1）A恰好獲得4元的概率為$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$…（2分）
（2）X的可能取值為0，4，6，12，
$P（{X=4}）=\frac{1}{9}，P（{X=0}）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$，
$P（{X=6}）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}，P（{X=12}）=\frac{1}{3}$，…（5分）
所以X的分布列為：

X	0	4	6	12
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

…（6分）
（3）Y的可能取值為0，4，6；Z的可能取值為0，4．
因為$P（{Y=0}）=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{5}{9}，P（{Y=4}）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}，P（{Y=6}）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，…（8分）
$P（{Z=0}）=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{8}{9}，P（{Z=4}）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，…（9分）
所以$EY=0×\frac{5}{9}+4×\frac{1}{9}+6×\frac{1}{3}=\frac{22}{9}，EZ=0×\frac{8}{9}+4×\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$，
所以$EY+EZ=\frac{26}{9}$，
又$EX=0×\frac{2}{9}+4×\frac{1}{9}+6×\frac{1}{3}+12×\frac{1}{3}=\frac{58}{9}$，…（11分）
由于EX＞EY+EZ，所以A所獲得的金額的期望能超過Y的期望與Z的期望之和．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法及應用，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．