Question

5．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，?x∈R，f（x-1）=f（x+1）成立，當(dāng)x∈（0，1）且x₁≠x₂時，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0．給出下列命題：
①f（1）=0；
②f（x）在[-2，2]上有5個零點；
③直線x=2 016是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸．
④點（2 016，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心；
則正確命題的序號是①②④．

Answer 1

分析 根據(jù)已知，分析出函數(shù)的周期和單調(diào)性，進而畫出滿足條件的函數(shù)的草圖，逐一分析四個結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：當(dāng)x∈（0，1）且x₁≠x₂時，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0．
即此時函數(shù)為減函數(shù)，
?x∈R，f（x-1）=f（x+1）成立，
即函數(shù)是T=2的周期函數(shù)，
又由函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
函數(shù)y=f（x）的草圖如下所示：

由圖可知：
f（1）=0，故①正確；
f（x）在[-2，2]上有：-2，-1，0，1，2，共5個零點，即②正確；
函數(shù)y=f（x）圖象無對稱軸，故③錯誤；
所有（k，0）（k∈Z）點均為函數(shù)的對稱中心，故（2016，0）是函數(shù)y=f（x）的一個對稱中心，故④正確；
故答案為：①②④

點評 本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的周期性，函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．