Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且有S_n=

1

2

n（a_n+1），n∈N^*，又a₂=3
（Ⅰ）寫出a₁，a₃，a₄并猜想{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的猜想結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）利用遞推關(guān)系S_n=

1

2

n（a_n+1），n∈N^*，及a₂=3，可求得a₁=1，a₃=5，a₄=7，于是猜想a_n=2n-1．
（Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，易證等式成立，②假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，利用歸納假設(shè)，去推證n=k+1時(shí)等式也成立即可．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

1

2

（a₁+1），解答a₁=1，又a₂=3，
∴a₃=S₃-S₂=

1

2

×3（a₃+1）-

1

2

×2（a₂+1），
解得：a₃=5；
同理可得，a₄=S₄-S₃=7；
故猜想：a_n=2n-1．
（Ⅱ）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，滿足a_n=2n-1；
②假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，a_k=2k-1，
則n=k+1時(shí)，a_k+1=S_k+1-S_k=

1

2

（k+1）（a_k+1+1）-[1+3+5+…+（2k-1）]，
∴2a_k+1=（k+1）（a_k+1+1）-2×

k(1+2k-1)

2

=（k+1）a_k+1+k+1-2k²，
∴（k-1）a_k+1=2k²-k-1=（k-1）（2k+1），
∵k≥2，
∴a_k+1=2k+1=2（k+1）-1，即n=k+1時(shí)，等式也成立；
綜合①②知，a_n=2n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查推理．運(yùn)算能力，猜得a_n=2n-1是關(guān)鍵，屬于中檔題．