Question

設(shè)函數(shù)f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N₊，b，c∈R）．
（1）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：y=f_n（x）在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）在（1）的條件下，證明：f_n（x）=0在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)存在唯一實根；
（3）設(shè)n=2，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，化簡函數(shù)的表達(dá)式，利用函數(shù)的單調(diào)性直接證明y=f_n（x）在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)單調(diào)遞增．
（2）f_n（x）=0在區(qū)間(

1

2

，1)內(nèi)存在唯一實根等價于f_n（x）=0在區(qū)間(

1

2

，1)內(nèi)存在唯一零點，通過fn(

1

2

)fn(1)＜0，以及函數(shù)fn(x)=xn+x-1在區(qū)間(

1

2

，1)為增函數(shù)．即可得到結(jié)果．
（3）n=2時，f2(x)=x2+bx+c，對任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
等價于f₂（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值與最小值的差M≤4，利用f₂（x）的對稱軸為x=-

b

2

，①當(dāng)|b|＞2時，②當(dāng)0＜b≤2時，③當(dāng)-2≤b≤0時，分別求出最值之差，判斷b的取值范圍為[-2，2]即可．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2，b=1，c=-1時，fn(x)=xn+x-1…（1分）
設(shè)

1

2

＜x1＜x2＜1，…（2分）
f（x₂）-f（x₁）=x₂ⁿ+x₂-1-（x₁ⁿ+x₁-1）=（x₂ⁿ-x₁ⁿ）+（x₂-x₁）…（3分）
∵

1

2

＜x1＜x2＜1，且∴x₂ⁿ-x₁ⁿ＞0，x₂-x₁＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴y=f_n（x）在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)單調(diào)遞增   …（4分）
（2）f_n（x）=0在區(qū)間(

1

2

，1)內(nèi)存在唯一實根等價于f_n（x）=0在區(qū)間(

1

2

，1)內(nèi)存在唯一零點                                             …（5分）
∵fn(

1

2

)fn(1)=(

1

2n

-

1

2

)×1＜0，
∴f_n（x）在區(qū)間(

1

2

，1)內(nèi)有零點．…（6分）
由（1）知n≥2時，fn(x)=xn+x-1在區(qū)間(

1

2

，1)為增函數(shù)．…（7分）
所以f_n（x）在區(qū)間(

1

2

，1)內(nèi)存在唯一的零點；…（8分）
（3）n=2時，f2(x)=x2+bx+c…（9分）
所以對任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
等價于f₂（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值與最小值的差M≤4，…（10分）
∵f₂（x）的對稱軸為x=-

b

2

．
①當(dāng)|-

b

2

|＞1，即|b|＞2時，M=|f₂（1）-f₂（-1）|=2|b|＞4，不合題意．…（11分）
②當(dāng)-1≤-

b

2

＜0，即0＜b≤2時，
M=f2(1)-f2(-

b

2

)=

b2

4

+b+1=

1

4

(b+2)2≤4恒成立；…（12分）
③當(dāng)0≤-

b

2

≤1，即-2≤b≤0時，
M=f2(-1)-f2(-

b

2

)=

b2

4

-b+1=

1

4

(b-2)2≤4恒成立     …（13分）
綜上所得，b的取值范圍為[-2，2]…（14分）

點評：本題考查函數(shù)的最值的幾何意義，函數(shù)的恒成立，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點，考查轉(zhuǎn)化思想以及分析問題解決問題的能力．