Question

由于我市去年冬天多次出現(xiàn)重度污染天氣，市政府決定從今年3月份開始進(jìn)行汽車尾氣的整治，為降低汽車尾氣的排放量，我市某廠生產(chǎn)了甲、乙兩種不同型號的節(jié)排器，分別從兩種節(jié)排器中隨機(jī)抽取100件進(jìn)行性能質(zhì)量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示．
節(jié)排器等級如表格所示

綜合得分K的范圍	節(jié)排器等級
K≥85	一級品
75≤k＜85	二級品
70≤k＜75	三級品

若把頻率分布直方圖中的頻率視為概率，則
（1）如果從甲型號中按節(jié)排器等級用分層抽樣的方法抽取10件，然后從這10件中隨機(jī)抽取3件，求至少有2件一級品的概率；
（2）如果從乙型號的節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，求其二級品數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由已知及頻率直方圖中的信息得到甲型號的節(jié)排器中一級品的概率為

3

5

，二級品的概率為

2

5

，用分層抽樣方法抽取10件，其中有6件一級品，4件二級品，由此利用對立事件概率計算公式能求出從這10件節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，至少有2件一級品的概率．
（2）由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號的節(jié)排器中一級品的概率為

7

10

，二級品的概率為

1

4

，三級品的概率為

1

20

，如果從乙型號的節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，則二級品數(shù)X可能的值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答： 解：（1）由已知及頻率直方圖中的信息得到：
甲型號的節(jié)排器中一級品的概率為

3

5

，二級品的概率為

2

5

，
用分層抽樣方法抽取10件，其中有6件一級品，4件二級品，
∴從這10件節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，至少有2件一級品的概率：
P=1-

C 3 4 +C 2 4 C 1 6

C 3 10

=

2

3

．
（2）由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號的節(jié)排器中一級品的概率為

7

10

，二級品的概率為

1

4

，三級品的概率為

1

20

，
如果從乙型號的節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，則二級品數(shù)X可能的值為0，1，2，3
又P（X=0）=

C

0 3

×(

3

4

)3=

27

64

，
P（X=1）=

C

1 3

×(

1

4

)×(

3

4

)2=

27

64

，
P（X=2）=

C

2 3

×(

1

4

)2×

3

4

=

9

64

，
P（X=3）=

C

3 3

×(

1

4

)3=

1

64

，
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

E（X）=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查相互獨(dú)立事件概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．