Question

在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，?a，b∈R，a*b為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：
（1）對(duì)任意a∈R，a*0=a；    
（2）對(duì)任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）
關(guān)于函數(shù)f（x）=（e^x）*

1

ex

的性質(zhì)，有如下說(shuō)法：
①函數(shù)f（x）的最小值為3；
②函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0]
其中正確說(shuō)法的序號(hào)為（　　）

• A、①
• B、①②
• C、①②③
• D、②③

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意，可得f（x）=1+e^x+e^-x，
對(duì)于①，可由基本不等式1+e^x+

1

ex

≥1+2

ex• 1 ex

=3判斷其正誤；
對(duì)于②，利用偶函數(shù)的定義可判斷其正誤；
對(duì)于③，由f′（x）≥0，求得其單調(diào)遞增區(qū)間，可判斷其正誤．

解答： 解：∵f（x）=（e^x）*

1

ex

=（e^x）•

1

ex

+（e^x）*0+

1

ex

*0=1+e^x+

1

ex

，
對(duì)于①，∵1+e^x+

1

ex

≥1+2

ex• 1 ex

=3（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取“=”），
∴f（x）_min=3，故①正確；
對(duì)于②，∵f（x）=1+e^x+

1

ex

=1+e^x+e^-x，
∴f（-x）=1+e^x+e^-x=1+e^x+e^-x=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故②正確；
對(duì)于③，∵f′（x）=e^x-e^-x=

e2x-1

ex

，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）≥0，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，-∞），故③錯(cuò)誤；
∴正確說(shuō)法的序號(hào)為①②，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，得到f（x）=1+e^x+e^-x是關(guān)鍵，考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性及最值，屬于中檔題．