Question

如圖，用一塊長為2米，寬為1米的矩形木板，在教室的墻角處圍出一個直三棱柱的儲物角（使木板垂直于地面的兩邊與墻面貼緊），試問應怎樣圍才能使儲物角的容積最大？并求出這個最大值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：應用題,空間位置關系與距離

分析：求出以木板的寬為三棱柱的高時，圍成的三棱柱的體積是多少，
再求出以木板的長為三棱柱的高時，圍成的三棱柱的體積是多少，二者比較得出結論．

解答： 解：設木板與一面墻的夾角為θ，以木板寬1為三棱柱的高，
則棱柱的底面積是：
S=

1

2

•2cosθ•2sinθ=sin2θ≤1，當θ=

π

4

時等號成立；
此時棱柱的體積V₁=hS=1×1=1；
若以木板的長2為三棱柱的高，
則最大體積為V₂=2×

1

4

=

1

2

，
∴V₁＞V₂，
∴應取底面為等腰三角形，且高為1時，圍成的容積最大．

點評：本題考查了三棱柱的體積計算問題，也考查了實際應用問題，解題的關鍵是設計出兩種圍成的三棱柱的方案，是中檔題．