Question

12．奇函數f（x）在（0，+∞）內單調遞增且f（2）=0，則不等式$\frac{f（x）}{x-1}＞0$的解集為（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（0，1）∪（1，2）
• B． （-2，0）∪（1，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（0，1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 通過當x＞1時，f（x）在（0，+∞）內單調遞增，又f（2）=0，則f（x）＞0=f（2），當0＜x＜1時，f（x）＜0，又函數f（x）為奇函數，求出x＜0時不等式的解集，進而求出不等式$\frac{f（x）}{x-1}＞0$的解集即可．

解答 解：當x＞1時，f（x）在（0，+∞）內單調遞增，
又f（2）=0，則f（x）＞0=f（2），∴x＞2．
當0＜x＜1時，f（x）＜0，解得：0＜x＜1，
又函數f（x）為奇函數，
則f（-2）=0且f（x）在（-∞，0）內單調遞增，
則當x＜0時，f（x）＜0=f（-2），∴x＜-2，
綜上所述，x＞2或0＜x＜1或x＜-2，
故選：D

點評 本題考查了奇函數的性質、函數單調性，還考查了分類討論、數形結合的數學思想，本題有一定的思維難度，屬于中檔題．