Question

已知函數(shù)f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定義域?yàn)閰^(qū)間[-2，2]．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）試討論方程g（x）+m=0解的情況．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）3^a+2=18，a=log

18 3

-2=log

2 3

，代入g（x）式子求解即可．（2）設(shè)t=2^x，t∈[

1

4

，4]是單調(diào)遞增函數(shù)，k（t）=-t²+t，t∈[

1

4

，4]，畫出函數(shù)圖象，判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，就能夠判斷方程根的個(gè)數(shù)問題．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=3^x，且f（a+2）=18，
∴3^a+2=18，a=log

18 3

-2=log

2 3

，
∵g（x）=3^ax-4^x的定義域?yàn)閰^(qū)間[-2，2]．
∴g（x）=2^x-（2^x）²，x∈[-2，2]
（2）
k（

1

4

）=

3

16

，k（

1

2

）=

1

4

，k（4）=-12
方程g（x）+m=0，
當(dāng)-m＞

1

4

，無解，
當(dāng)-m=

1

4

，或-12≤-m＜

3

16

，一個(gè)解，
當(dāng)

3

16

≤-m＜

1

4

，兩個(gè)解．
綜上方程g（x）+m=0解的情況如下：
當(dāng)m＜-

1

4

，無解，
當(dāng)m=-

1

4

，或-

3

16

≤m≤12，一個(gè)解，
當(dāng)-

1

4

＜m≤-

3

16

，兩個(gè)解．

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的交點(diǎn)，方程的根的問題，運(yùn)用圖象，單調(diào)性解決即可，綜合性較大．