Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b∈R，滿足：f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，a_n=

f(2n)

n

（n∈N^*），b_n=

f(2n)

2n

（n∈N^*）．
考察下列結(jié)論：①f（0）=f（1）；  
②f（x）為偶函數(shù)； 
③數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列； 
④數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．
其中正確的結(jié)論共有（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：運(yùn)用f（ab）=af（b）+bf（a）等式，賦值求解f（1），f（-1），f（0）的值求解即可．判斷奇偶性，運(yùn)用f（-x）=（-1）×f（x）+xf（-1）=-f（x）即可判斷，有特殊到一般歸納得：f（2ⁿ）=n×2ⁿ，（n∈N^*）．再判斷數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列； 數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．，運(yùn)用定義即可．

解答： 解：（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b∈R，滿足：f（ab）=af（b）+bf（a），
f（0×0）=2f（0），f（0）=0，
f（1×1）=2f（1），f（1）=0，
故①f（0）=f（1）正確；
（2）∵f[（-1）×（-1）]=-2f（-1），
f（1）=-2f（-1）=0，f（-1）=0
∴f（-x）=（-1）×f（x）+xf（-1）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，故②不正確；
（3）根據(jù)f（ab）=af（b）+bf（a），
得到：f（2）=2
f（2²）=2•2²，
f（2³）=3×2³，
f（2⁴）=f（2²×2²）=4×2⁴，
歸納得：f（2ⁿ）=n×2ⁿ，（n∈N^*）．
∴a_n=

f(2n)

n

=2ⁿ，
∴

an+1

an

=

2n+1

2n

=2=常數(shù)（n∈N^*）．
③數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列正確；
∵b_n=

f(2n)

2n

=

n2n

2n

=n，（n∈N^*）．
b_n+1-b_n=n+1-n=1=常數(shù)，（n∈N^*）．
∴④數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列正確；
所以①③④正確，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，與數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，對(duì)抽象函數(shù)的考察很好，鍛煉了對(duì)數(shù)學(xué)式子的理解．