Question

解方程：x³+x²=1．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)f（x）=x³+x²-1，f′（x）=3x²+2x，令f′（x）＞0，得x＞0或者x＜-

2

3

．由已知得x的取值在[0，1]中，f''（x）=6x+2，根據(jù)求解的切線公式x_n=x_n-1-

f(xn-1)

f′(xn-1)

，能求出x≈0.755．

解答： 解：設(shè)f（x）=x³+x²-1，
f′（x）=3x²+2x，
令f′（x）＞0，得x＞0或者x＜-

2

3

．
∴f（x）在x＜-

2

3

，或x＞0時(shí)為增函數(shù)，其余為減函數(shù)．
由于f（-

2

3

）＜0，故只有一根．
∵f（0）=-1＜0，f（1）=1＞0，
∴x的取值在[0，1]中，
f''（x）=6x+2
在（0，1），f′＞0，f''（x）＞0，
按f''（x）與f（1）同號(hào)，所以令x₀=1，
根據(jù)求解的切線公式x_n=x_n-1-

f(xn-1)

f′(xn-1)

，
得：x₁=1-

1

5

=

4

5

，
x₂=

4

5

-

19 125

264 125

=0.728，
x₃=0.728-（-

0.084

3.046

）=0.756，
x₄=0.756-

0.0036

3.2266

=0.755，
∴x≈0.755．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元三次方程的解法，是中檔題，解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．