Question

已知橢圓

x2

2

+y²=1，
（1）求過點(diǎn)P（

1

2

，

1

2

）且被P平分的弦所在直線的方程；
（2）過A（2，1）引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）用“點(diǎn)差法”求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出直線方程，注意點(diǎn)A在橢圓內(nèi)，即直線存在．
（2）這是利用點(diǎn)差法來求弦的中點(diǎn)問題．可先設(shè)弦ABC的中點(diǎn)P以及C，B點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線AB斜率分別用P點(diǎn)坐標(biāo)以及P點(diǎn)坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)即可得含x，y的方程，即弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程，注意范圍．

解答： 解：（1）設(shè)這條弦與橢圓

x2

2

+y²=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入

x2

2

+y²=1，
作差整理得，（x₁-x₂）+2（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

，
∴這條弦所在的直線的方程y-

1

2

=-

1

2

（x-

1

2

），即y=-

1

2

x+

3

4

，
檢驗(yàn)：由于點(diǎn)（

1

2

，

1

2

）在橢圓內(nèi)，故成立．
（2）設(shè)過A（2，1）引橢圓的割線ABC．
設(shè)B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），中點(diǎn)P（x，y），則2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
直線AB：y-1=k（x-2）
則x₁²+2y₁²=2①，x₂²+2y₂²=2②
①-②得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
整理得，x（x₁-x₂）+2y（y₁-y₂）=0，化簡(jiǎn)得：k=

y1-y2

x1-x2

=-

x

2y

，代入y-1=k（x-2）
整理得：x²+2y²-2x-2y=0（-

2

≤x≤

2

），即為BC的中點(diǎn)P的軌跡方程．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的中點(diǎn)弦方程的求法，用“點(diǎn)差法”解題是圓錐曲線問題中常用的方法，注意檢驗(yàn)方程的存在性和限制條件．