Question

已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)（4，2），令a_n=f（n+1）+f（n），n∈N⁺，記數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和為S_n，則S_n=10時(shí)，n的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：冪函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：冪函數(shù)y=f（x）=x^α的圖象過點(diǎn)（4，2），可得f(x)=

x

．由于a_n=f（n+1）+f（n）=

n+1

+

n

，n∈N⁺，可得

1

an

=

n+1

-

n

．利用“累加求和”可得S_n=

n+1

-1．令

n+1

-1=10，解出即可．

解答： 解：∵冪函數(shù)y=f（x）=x^α的圖象過點(diǎn)（4，2），
∴2=4^α，解得α=

1

2

．
∴f(x)=

x

．
∵a_n=f（n+1）+f（n）=

n+1

+

n

，n∈N⁺，
∴

1

an

=

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

．
∴數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和為S_n=(

2

-1)+(

3

-

2

)+…+(

n+1

-

n

)=

n+1

-1．
則S_n=10時(shí)，令

n+1

-1=10，
解得n=120．
故答案為：120．

點(diǎn)評：本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)、“累加求和”方法、數(shù)列的通項(xiàng)公式、分子有理化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．