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已知函數f(x)=-x2+2ax-1,x∈[-2,2],
(1)當a=1時,求f(x)的最大與最小值;  
(2)求實數a的取值范圍,使函數f(x)在[-2,2]上不是單調函數;    
(3)求函數f(x)的最大值g(a),并求g(a)的最小值.
考點:二次函數的性質
專題:函數的性質及應用
分析:(1)將a=1代入,分析函數在給定區(qū)間上的單調性,進而可得f(x)的最大與最小值;  
(2)函數f(x)不是單調函數,判斷對稱軸在已知的區(qū)間內,即可求實數a的取值范圍;
(3)討論對稱軸的位置,然后求解函數f(x)的最小值為g(a),求g(a)表達式.
解答: 解:∵函數f(x)=-x2+2ax-1的圖象是開口朝下,且以直線x=a為對稱軸的拋物線;
(1)當a=1時,x∈[-2,2],
函數f(x)在[-2,1]上為增函數,在[1,2]上為減函數,
∴ymax=f(1)=0,
ymin=f(-2)=-9,
(2)若函數f(x)在[-2,2]上不是單調函數,
則a∈(-2,2),
∴-2<a<2時函數f(x)在[-2,2]上不是單調函數;
(3)當a≤-2時,g(a)=f(-2)=-4a-5,g(a)的最小值為3; 
當-2<a<2時,g(a)=f(a)=a2-1,g(a)的最小值為-1,
當a≥2時,g(a)=f(2)=4a-5,g(a)的最小值為3,
∴當a∈R時,g(a)的最小值為-1
點評:本題考查二次函數閉區(qū)間上的最值的求法,函數的單調性的應用,考查計算能力以及分類討論思想的應用.
練習冊系列答案
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