Question

已知函數f（x）=-x²+2ax-1，x∈[-2，2]，
（1）當a=1時，求f（x）的最大與最小值；  
（2）求實數a的取值范圍，使函數f（x）在[-2，2]上不是單調函數；    
（3）求函數f（x）的最大值g（a），并求g（a）的最小值．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）將a=1代入，分析函數在給定區(qū)間上的單調性，進而可得f（x）的最大與最小值；  
（2）函數f（x）不是單調函數，判斷對稱軸在已知的區(qū)間內，即可求實數a的取值范圍；
（3）討論對稱軸的位置，然后求解函數f（x）的最小值為g（a），求g（a）表達式．

解答： 解：∵函數f（x）=-x²+2ax-1的圖象是開口朝下，且以直線x=a為對稱軸的拋物線；
（1）當a=1時，x∈[-2，2]，
函數f（x）在[-2，1]上為增函數，在[1，2]上為減函數，
∴y_max=f（1）=0，
y_min=f（-2）=-9，
（2）若函數f（x）在[-2，2]上不是單調函數，
則a∈（-2，2），
∴-2＜a＜2時函數f（x）在[-2，2]上不是單調函數；
（3）當a≤-2時，g（a）=f（-2）=-4a-5，g（a）的最小值為3； 
當-2＜a＜2時，g（a）=f（a）=a²-1，g（a）的最小值為-1，
當a≥2時，g（a）=f（2）=4a-5，g（a）的最小值為3，
∴當a∈R時，g（a）的最小值為-1

點評：本題考查二次函數閉區(qū)間上的最值的求法，函數的單調性的應用，考查計算能力以及分類討論思想的應用．