Question

已知全集U=R，集合A={x|x²-x-6＜0}，B={x|x²+2x-8＞0}，C={x|x²+2ax-3a²＜0}．
（1）求A∪B；
（2）若∁_U（A∪B）⊆C，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

專題：集合

分析：（1）分別求出x²-x-6＜0和x²+2x-8＞0的解集，即求出集合A、B，由并集的運(yùn)算求出A∪B；
（2）由補(bǔ)集的運(yùn)算求出C_U（A∪B），并對x²+2ax-3a²＜0進(jìn)行分解，根據(jù)∁_U（A∪B）⊆C分三種情況討論，分別由子集的關(guān)系列出不等式求出a的范圍．

解答： 解：（1）由x²-x-6＜0得，-2＜x＜3，則A={x|-2＜x＜3}，
由x²+2x-8＞0得，x＜-4或x＞2，則B={x|x＜-4或x＞2}，
∴A∪B={x|x＜-4或x＞-2}
（2）由（1）得，C_U（A∪B）={x|-4≤x≤2}，
由x²+2ax-3a²＜0得，（x+3a）（x-a）＜0，則C={x|（x+3a）（x-a）＜0}，
∵∁_U（A∪B）⊆C，∴分三種情況討論，
當(dāng)a＞0時，C={x|-3a＜x＜a}，則

-3a＜-4 a＞2

，∴a＞2．
當(dāng)a＜0時，C={x|a＜x＜-3a}，則

a＜-4 -3a＞-2

，∴a＜-4．
當(dāng)a=0時，不滿足條件．
綜上可得，a＞2或a＜-4．

點評：本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，利用集合之間的關(guān)系、分類討論思想求參數(shù)的范圍，以及一元二不等式的解法．