Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（2，0）．直線AP，BP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積是﹣ ．記點(diǎn)P的軌跡為Г． （Ⅰ）求Г的方程；
（Ⅱ）已知直線AP，BP分別交直線l：x=4于點(diǎn)M，N，軌跡Г在點(diǎn)P處的切線與線段MN交于點(diǎn)Q，求 的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），則 直線AP的斜率 （x≠﹣2）；
直線BP的斜率 （x≠2）．
由已知有 （x≠±2），
化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡Г的方程為 （x≠±2）．
（Ⅱ）設(shè)P（x1 ， y1）（x1≠±2），則 ．
直線AP的方程為 ，令x=4，得點(diǎn)M縱坐標(biāo)為 ；
直線BP的方程為 ，令x=4，得點(diǎn)N縱坐標(biāo)為 ；
設(shè)在點(diǎn)P處的切線方程為y﹣y1=k（x﹣x1），
由 ，得 ．
由△=0，得 =0，
整理得 ．
將 代入上式并整理得： ，解得 ，
∴切線方程為 ．
令x=4得，點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為 = ．
設(shè) ，則yQ﹣yM=λ（yN﹣yQ），
∴ ．
∴ ．
將 代入上式，得 ，
解得λ=1，即 =1．
【解析】（Ⅰ）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，求得AP、BP所在直線的斜率，由斜率之積是﹣ 列式整理即可得到Г的方程；（Ⅱ）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，得到AP、BP的方程，進(jìn)一步求出M、N的縱坐標(biāo)，再寫出橢圓在P點(diǎn)的切線方程，由判別式等于0得到過P的斜率（用P的坐標(biāo)表示），再代入切線方程，求得Q點(diǎn)縱坐標(biāo)，設(shè) ，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系即可求得λ，從而得到 的值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能得出正確答案．