Question

如圖所示，圓O的兩弦AB和CD交于點(diǎn)E，EF∥CB，EF交AD的延長線于點(diǎn)F，F(xiàn)G切圓O于點(diǎn)G．
（Ⅰ）求證：△DFE∽△EFA；
（Ⅱ）如果FG=1，求EF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定,與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（Ⅰ）由同位角相等得出∠BCE=∠FED，由圓中同弧所對圓周角相等得出∠BAD=∠BCD，結(jié)合公共角∠EFD=∠EFD，證出△DEF∽△EFA；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得EF²=FA•FD，再由圓的切線長定理FG²=FD•FA，所以FG=EF=1．

解答： 證明：（Ⅰ）∵EF∥CB，
∴∠DEF=∠DCB．
∴∠DEF=∠DAB，
∴∠DEF=∠DAB．
又∵∠DFE=∠EFA，
∴△DFE∽△EFA…（4分）
解：（Ⅱ）∵△DFE∽△EFA，
∴EF：FA=FD：EF．
∴EF²=FA•FD．
又∵FG切圓于G，
∴GF²=FA•FD．
∴EF²=FG²．
∴EF=FG．
已知EF=1，
∴FG=1…（8分）

點(diǎn)評：本題考查與圓有關(guān)的角、比例線段，要善于尋找有關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合相關(guān)性質(zhì)、定理求解．