Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx的極值點為x=-

2

3

和x=1
（1）求b，c的值與f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）當x∈[-1，2]時，不等式f（x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）對函數(shù)進行求導，令f'（1）=0，f'（-

2

3

）=0可求出b，c的值，再利用導數(shù)求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在[-1，2]上的最大值，繼而求出m的范圍

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+bx²+cx，
∴f'（x）=3x²+2bx+c，
∵f（x）的極值點為x=-

2

3

和x=1
∴f'（1）=3+2b+c=0，f'（-

2

3

）=

4

3

-

4

3

b+c=0，
解得，b=-

1

2

，c=-2，
∴f'（x）=（3x+2）（x-1），
當f'（x）＞0時，解得x＜-

2

3

，或x＞1，
當f'（x）＜0時，解得-

2

3

＜x＜1，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-

2

3

）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-

2

3

，1），
（2）有（1）知f（x）=x³-

1

2

x²-2x，x∈[-1，2]，
故函數(shù)在[-1，-

2

3

）和（1，2]單調(diào)遞增增，在（-

2

3

，1）單調(diào)遞減，
當x=-

2

3

，函數(shù)有極大值，f（-

2

3

）=

22

27

，f（2）=2，
所以函數(shù)的最大值為2，
所以不等式f（x）＜m在x∈[-1，2]時恒成立，
故m＞2
故實數(shù)m的取值范圍為（2，+∞）

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與導函數(shù)之間的關(guān)系．屬中檔題