Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-（a+1）x（a∈R）
（1）當(dāng)x＞0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若x∈R，f（x）≥b（b∈R）恒成立，求（a+1）b的值域．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=e^x-（a+1）；討論導(dǎo)數(shù)的正負以確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求導(dǎo)f′（x）=e^x-（a+1）；從而化恒成立問題為最值問題，從而可得（a+1）b≤（a+1）²（1-ln（a+1））；令a+1=x，則x＞0；則（a+1）²（1-ln（a+1））=x²（1-lnx），令F（x）=x²（1-lnx），從而求導(dǎo)確定函數(shù)的取值范圍，從而求（a+1）b的值域．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x-（a+1）；
①當(dāng)a≤0時，∵x＞0，
∴f′（x）=e^x-（a+1）＞1-a-1≥0；
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時，解f′（x）=e^x-（a+1）＞0得，
x＞ln（a+1）；
故f（x）在（0，ln（a+1））上是減函數(shù)，
在（ln（a+1），+∞）上是增函數(shù)；
（2）f′（x）=e^x-（a+1）；
若a＜-1，則f′（x）=e^x-（a+1）＞0恒成立；
故f（x）=e^x-（a+1）x在R上是增函數(shù)，
故不可能有f（x）≥b（b∈R）恒成立；
若a=-1；則（a+1）b=0；
若a＞-1，則令f′（x）=e^x-（a+1）=0解得：x=ln（a+1）；
則f（x）=e^x-（a+1）x在（-∞，ln（a+1））上是減函數(shù)，
在（ln（a+1），+∞）上是增函數(shù)；
故f_min（x）=f（ln（a+1））=（a+1）-（a+1）ln（a+1）；
故b≤（a+1）-（a+1）ln（a+1）；
（a+1）b≤（a+1）²（1-ln（a+1））；
令a+1=x，則x＞0；
則（a+1）²（1-ln（a+1））=x²（1-lnx），
令F（x）=x²（1-lnx），
則F′（x）=2x（1-lnx）-x²

1

x

=x（1-2lnx）；
故F（x）=x²（1-lnx）在（0，

e

）上是增函數(shù)，
在（

e

，+∞）上是減函數(shù)；
故F（x）≤F（

e

）=

e

2

；
故（a+1）b的值域為（-∞，

e

2

]．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了恒成立問題，屬于難題．