Question

自然數(shù)1，2，3，…，n按照一定的順序排成一個(gè)數(shù)列：a₁，a₂，…，a_n．若滿足|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-n|≤4，則稱數(shù)列a₁，a₂，…，a_n為一個(gè)“優(yōu)數(shù)列”．當(dāng)n=6時(shí)，這樣的“優(yōu)數(shù)列”共有（　�。�

• A、24個(gè)
• B、23個(gè)
• C、18個(gè)
• D、16個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題

專題：新定義,排列組合

分析：利用新定義，先確定優(yōu)數(shù)列的和只能取0、2、4，再分類討論，即可得到結(jié)論．

解答： 解：由題意，|a₁-1|+|a₂-2|+…+|a_n-6|≤4，通過(guò)分析可知，當(dāng)1到6分別對(duì)應(yīng)a₁至a₆時(shí)和，取得最小值0；
任意改變其中兩個(gè)數(shù)a_i=i、a_j=j的位置，則有|a_i-j|+|a_j-i|=2|i-j|，
表明一旦改變，和的變化必然是以2為單位，不可能有1、3、5…這樣的和出現(xiàn)，
所以，優(yōu)數(shù)列的和只能取0、2、4；
①當(dāng)和為0時(shí)，只有上面提到的1種情況；
②當(dāng)和為2時(shí)，只能是改變相鄰位置的兩個(gè)數(shù)而得，否則和2|i-j|必然大于2，共有5種情況；
③當(dāng)和為4時(shí)，需要分類討論：
 （i）改變的是相隔1個(gè)數(shù)的兩個(gè)數(shù)的情況，也就是i-1和i+1互換位置，有4種情況；
 （ii）改變的是三個(gè)數(shù)輪換的情況，只能是i-1，i，i+1輪換位置，有8種情況；
綜上，優(yōu)數(shù)列共有1+5+4+8=18種情況．  
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，是中檔題．