Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中點，F是PC的中點．
（Ⅰ）求證：BF∥面PDE；
（Ⅱ）求證：面PDE⊥面PAB．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）證明FG與BE平行且相等，可得BF∥GE，利用線面平行的判定可得BF∥面；
（Ⅱ）證明DE⊥AB，DE⊥AP，利用線面垂直的判定定理，可得DE⊥面PAB，從而可證面PDE⊥面PAB．

解答： 證明：畫出圖象，如圖示：
（Ⅰ）取PD的中點G，連結FG，GE，
∵F，G是中點，∴FG∥CD且FG=

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CD，∴FG與BE平行且相等，
∴BF∥GE，
∵GE?面PDE
∴BF∥面PDE．
（Ⅱ）∵底面ABCD是菱形，∠BCD=60°
∴△ABD為正三角形E是AB的中點，DE⊥AB，
∵PA⊥面ABCD，DE?面ABCD
∴DE⊥AP，
∵AB∩AP=A
∴DE⊥面PAB
∵DE?面PDE
∴面PDE⊥面PAB．

點評：本題考查線面垂直，面面垂直，考查線面平行，正確運用判定定理是關鍵．