Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sin(x+

π

4

)•cos(x+

π

4

)-sin(2x+π)．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若將f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先利用函數(shù)的恒等變換把函數(shù)轉(zhuǎn)化成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的周期．
（2）利用（1）的結(jié)論對函數(shù)定型平移變換，進一步利用函數(shù)的定義域求三角函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2

3

sin(x+

π

4

)•cos(x+

π

4

)-sin(2x+π)=

3

cos2x+sin2x
=2sin（2x+

π

3

）
所以：T=

2π

2

=π
（2）由（1）得：函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

3

）向右平移

π

4

個單位得到：g（x）=2sin（2x-

π

6

）
由于x∈[0，

π

2

]
所以：2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
sin(2x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]
函數(shù)g（x）=2sin（2x-

π

6

）∈[-1，2]
當x=0時函數(shù)的最小值為-1．
當x=

π

3

時，函數(shù)取得最大值為2．

點評：本題考查的知識要點：函數(shù)圖象的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期和圖象的變換問題，利用函數(shù)的定義域求三角函數(shù)的最大值和最小值．