Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

．
（1）求角B的大小；
（2）若b=

3

，a+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用

專題：解三角形

分析：本題（1）利用正弦定理，將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦函數(shù)關(guān)系，再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式和三角形內(nèi)角和定理，求出角B的余弦值，得出角B的大��；（2）利用余弦定理和兩邊和，求出兩邊的積，再用正弦面積公式，求出三角形的面積，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，
∴

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R．
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsnC．
∵

cosB

cosC

=-

b

2a+c

，
∴

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
∴-sinBcosC=2sinAcosB+cosBsinC，
∴2sinAcosB=-（sinBcosC+cosBsinC），
∴2sinAcosB=-sin（B+C）．
∵B+C=π-A，
∴2sinAcosB=-sinA．
∵0＜A＜π，
∴sinA＞0．
∴cosB=-

1

2

，
∵0＜B＜π，
∴B=

2

3

π．
（2）在△ABC中，b²=a²+c²-2accosB，
∵B=

2

3

π，b=

3

，
∴a²+c²+ac=3．
∴（a+c）²-ac=3，
∵a+c=4，
∴ac=13．
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×13×

3

2

=

13 3

4

．
∴△ABC的面積為

13 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正弦定理和余弦定理，以及兩角和與差的三角函數(shù)公式、三角形面積公式，本題有一定的思維難度 和計(jì)算量，屬于中檔題．