Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1，x∈R，若函數(shù)h（x）=f（x+α）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

3

，0）對稱，且α∈（0，π），則α=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用兩角和差的正弦公式、二倍角公式化簡函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x-

π

3

），可得函數(shù)h（x）=2sin（2x+2α-

π

3

），再由 h（-

π

6

）=0 可得2t-

2π

3

=0或π，由此解得t的值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1
=2•

1-cos( π 2 +2x)

2

-

3

cos2x-1
=1+sin2x-

3

cos2x-1
=2（

1

2

sin2x-

3

2

sin2x）
=2sin（2x-

π

3

），
∴函數(shù)h（x）=f（x+α）=2sin（2x+2α-

π

3

），且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

3

，0）對稱，
∴h（-

π

3

）=0，即 2sin（2α-π）=0，
∵α∈（0，π），
∴2α-π=0 解得α=

π

2

．
故答案為：

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式、二倍角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的對稱性，屬于中檔題．