Question

9．實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+ax+2b=0有兩個根，一個根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求：
（1）（a-1）²+（b-2）²的值域．
（2）$\frac{a+b-3}{a-1}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，列出不等式組，畫出關(guān)于點(diǎn)（a，b）的可行域，根據(jù)（a-1）²+（b-2）²表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（a，b）與定點(diǎn)（1，2）之間距離的平方，從而求得它的范圍．
（2）根據(jù)$\frac{a+b-3}{a-1}$=1+$\frac{b-2}{a-1}$，根據(jù)$\frac{b-2}{a-1}$的幾何意義，數(shù)形結(jié)合可得k_AD＜$\frac{b-2}{a-1}$＜k_CD，求得 $\frac{a+b-3}{a-1}$的范圍．

解答 解：方程x²+ax+2b=0的兩根區(qū)間（0，1）和（1，2）上的幾何意義分別是：
函數(shù)y=f（x）=x²+ax+2b與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間（0，1）
和（1，2）內(nèi)，
由此可得不等式組 $\left\{\begin{array}{l}{f（1）＜0}\\{f（0）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{a+2b+1＜0}\\{b＞0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$．
由$\left\{\begin{array}{l}a+2b+1=0\\ a+b+2=0\end{array}$，解得A（-3，1）；
由$\left\{\begin{array}{l}a+b+2=0\\ b=0\end{array}$解得B（-2，0）；
由$\left\{\begin{array}{l}a+2b+1=0\\ b=0\end{array}$解得C（-1，0），
故在圖所示的aOb坐標(biāo)平面內(nèi)，滿足約束條的點(diǎn)（a，b）對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)椤鰽BC（不包括邊界）．
（1）因?yàn)椋╝-1）²+（b-2）²表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（a，b）與定點(diǎn)（1，2）之間距離的平方，
所以（a-1）²+（b-2）²∈（8，17）．
（2）$\frac{a+b-3}{a-1}$=1+$\frac{b-2}{a-1}$，而$\frac{b-2}{a-1}$的幾何意義是點(diǎn)（a，b）和點(diǎn)D（1，2）連線的斜率．
因?yàn)閗_AD=$\frac{2-1}{1+3}$=$\frac{1}{4}$，k_CD=$\frac{2-0}{1+1}$=1，由圖可知k_AD＜$\frac{b-2}{a-1}$＜k_CD，
所以$\frac{1}{4}$＜$\frac{b-2}{a-1}$＜1，即$\frac{b-2}{a-1}$∈（$\frac{1}{4}$，1），∴$\frac{a+b-3}{a-1}$∈（$\frac{5}{4}$，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，簡單的線性規(guī)劃，兩點(diǎn)間的距離公式、直線的斜率公式的應(yīng)用，屬于中檔題．